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核反応断面図

入射粒子と標的核との衝突で核反応が起こる割合について考えてみる。

毎秒S cm2当たり1個の入射粒子が入ってくるとし
標的核の数は1cm3当たりm 個で標的の厚さをd cmとする。

標的核1個の面積をσ cm2 として入射粒子がその面積内に入ると必ず核反応が起こるとすると
S cm2 当たり標的核全体の占める面積は σSmd cm2 であるので

核反応の起こる確率yは毎秒 y = σSmd / S = σmd

で与えられる。

mdは入射粒子の方向に1 cm2 当たりに存在する標的核の数を表す。

従って、毎秒n個の入射粒子と1 cm2 当たりN個の標的核のある場合の核反応生成率Yは

Y = σnN

で与えられる。

また、粒子フルエンス率をΦとすると

n = SΦ

より

Y = σΦSN = σΦNT

と表され

NT = SN

は入射ビーム内の標的核の総数を表す。

σを核反応断面積という。

原子核の面積としてその幾何学的な断面積(πR2)を考えることが出来る。

ある入射粒子と標的核の組合せを取ったとしても
放出される粒子は色々あるため、種々の核反応が起こる。

このため特定の核反応の起こる核反応断面積は通常原子核の幾何学的断面積より小さい。

それぞれの核反応に対する核反応断面積は実験的に決める必要がある。
核反応断面積を表す単位としてb(バーン)が用いられ

1 b = 10-24 cm2

である。

a + A → b + B なる核反応で粒子bが放出される場合、粒子bは入射粒子の方向に対して角度依存性を示す。

粒子bがある角度方向に放出される割合を表すのに微分断面積が用いられる。
入射粒子の方向に対し角度θの方向の微小立体角内dΩに放出される微分断面積を

微分断面積 = dσ(θ) / dΩ

で表す。これを全立体角について積分したものが全断面積または核反応断面積σである。

核反応で生じる生成核の数は、毎秒の生成率が Y = σnN で与えられるので
時間とともに増加する。

しかし、生成される核種がある半減期をもって減衰する場合は異なる。
この場合、毎秒Yだけ生成され壊変定数λで壊変し減少するので
単位時間当たりの増加率は

dN / dt = -λN + Y

で与えられる。
この微分方程式を解くと t = 0 で N = 0 として

N = 1/λ * Y (1 - e-λt)

を得る。

実際この式を微分すると

dN / dt = -λN + Y

が得られる。

従って、生成核の放射能Aは

A = λN = Y (1 - e-λt)

で与えられる。

この式をみると、時間の始め t << 1/λ では e-λt ≒ 1 - λt より
A = λYt と時間に比例して放射能が増加するが
充分時間が経過した後、t >> 1/λ では A = Y となり
放射能は生成率と同じになることが分かる。

これを飽和放射能という。
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日々、コンピューターとにらめっこしていた2010。
公の仕事に就くことを目指して教科書とにらめっこ2011,spring。
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